Biconvexo/Bicóncavo: La columna vertebral de los sistemas ópticos modernos

Cuando elijo una lente para un sistema óptico, la forma de la superficie me da una pista temprana sobre cómo se comportará la luz. Una lente biconvexa está curvada hacia afuera en ambos lados y generalmente atrae rayos paralelos hacia un foco. Una lente bicóncava se curva hacia adentro en ambos lados y generalmente separa los rayos paralelos. Esa diferencia afecta la formación de imágenes, el aumento, los anteojos, las cámaras, los microscopios, los proyectores y muchos otros dispositivos ópticos. La forma de la lente por sí sola no cuenta toda la historia. El material, la curvatura de la superficie, el espesor de la lente y el medio circundante también afectan el rendimiento. ### Cómo una lente biconvexa desvía la luz Una lente biconvexa es más gruesa en el centro que en el borde. Cuando la lente está hecha de un material con un índice de refracción más alto que el aire circundante, los rayos de luz se curvan hacia el eje óptico al pasar a través de las dos superficies curvas. Los rayos entrantes paralelos pueden encontrarse en un punto llamado punto focal. La distancia desde la lente hasta ese punto es la distancia focal. Puedo usar una lente biconvexa de varias maneras: - Crear una imagen ampliada - Enfocar la luz en un sensor - Proyectar una imagen en una pantalla - Recolectar luz en un microscopio - Ayudar a formar imágenes en cámaras e instrumentos ópticos Una lupa simple es un ejemplo familiar. Cuando sostengo un objeto pequeño más cerca de una lente biconvexa que su distancia focal, la lente puede producir una imagen virtual ampliada y vertical. No veo los rayos de luz que se encuentran frente a mis ojos, pero mis ojos los siguen hacia atrás y perciben la imagen ampliada. Un proyector utiliza el mismo comportamiento básico de la lente de otra manera. El objeto se coloca más allá de la distancia focal, lo que permite que la lente forme una imagen real en una pantalla. La imagen se puede ampliar, invertir o reducir según la distancia del objeto y el diseño de la lente. ### Cómo una lente bicóncava desvía la luz Una lente bicóncava es más delgada en el centro y más gruesa cerca del borde. En condiciones normales, desvía los rayos paralelos alejándolos del eje óptico. Los rayos parecen provenir de un punto en el lado entrante de la lente. Este punto se llama punto focal virtual. Una lente bicóncava generalmente produce una imagen que es: - Vertical - Más pequeña que el objeto - Virtual - Ubicada en el mismo lado que el objeto Este comportamiento hace que las lentes bicóncavas sean útiles para difundir haces de luz y reducir la potencia óptica. Un ejemplo común es una lente correctiva para la miopía, también llamada miopía. Un ojo miope puede enfocar luz distante delante de la retina. Una lente divergente adecuada dispersa los rayos entrantes antes de que entren en el ojo. El ojo puede entonces enfocar la luz más atrás, más cerca de la retina. La prescripción correcta depende de la medida de la visión de la persona. La forma de la lente proporciona una guía útil, pero un profesional de la visión determina la potencia requerida. ### Biconvexo versus bicóncavo de un vistazo | Característica | Lente biconvexa | Lente bicóncava | |---|---|---| | Forma de la superficie | Curvas hacia afuera en ambos lados | Curvas hacia adentro en ambos lados | | Acción óptica habitual en el aire | Converge la luz | Divergencia la luz | | Grosor central | Mayor que el espesor del borde | Menos que el espesor del borde | | Comportamiento común de la imagen | Puede formar imágenes reales o virtuales | Suele formar imágenes virtuales, verticales y reducidas | | Usos típicos | Lupas, cámaras, proyectores, microscopios | Corrección de miopía, ampliación del haz, equilibrio óptico | | Signo de distancia focal habitual | Positivo | Negativo | Esta tabla describe lentes hechas de un material con un índice de refracción más alto que el aire circundante. Una lente puede actuar de manera diferente cuando cambia el medio circundante. En líquido u otro material óptico, la relación del índice de refracción pasa a formar parte del diseño. ### Por qué importa la distancia focal La forma me dice si una lente tiende a converger o divergir la luz, pero la distancia focal me dice con qué fuerza actúa. Una distancia focal positiva corta significa que una lente biconvexa desvía la luz con más fuerza y ​​enfoca los rayos en una distancia más corta. Una distancia focal positiva larga crea una curvatura más suave. Una lente bicóncava sigue la misma idea con valores de distancia focal negativos. Una distancia focal negativa más corta representa una divergencia más fuerte que una distancia focal negativa más larga. La potencia de la lente a menudo se escribe en dioptrías: [ P = \frac{1}{f} ] Aquí, P es la potencia óptica en dioptrías y f es la distancia focal en metros. Una lente biconvexa con una distancia focal de 0,5 metros tiene una potencia de +2 dioptrías. Una lente bicóncava con una distancia focal de -0,5 metros tiene una potencia de -2 dioptrías. Este cálculo me ayuda a comparar lentes, pero no reemplaza un diseño óptico completo. Una lente real puede mostrar distorsión, franjas de color, pérdida de reflejo o cambios en el rendimiento en todo el campo de visión. ### Formación de imágenes con una lente biconvexa La distancia del objeto cambia la imagen producida por una lente convergente. Cuando el objeto está más lejos de la lente que el doble de la distancia focal, la imagen suele ser real, invertida y más pequeña. Cuando el objeto está cerca del doble de la distancia focal, la imagen puede tener aproximadamente el mismo tamaño que el objeto. Cuando el objeto está entre una y dos distancias focales de la lente, la imagen suele ser real, invertida y ampliada. Cuando el objeto se coloca en el punto focal, los rayos emergentes se vuelven casi paralelos. La imagen se aleja mucho, por lo que es posible que una pantalla no la capture a una distancia normal. Cuando el objeto está más cerca que la distancia focal, la lente produce una imagen virtual ampliada y vertical. Este es el principio de funcionamiento de una lupa básica. ### Formación de imágenes con una lente bicóncava Una lente bicóncava normalmente crea una imagen virtual de un objeto real. La imagen permanece vertical y parece más pequeña que el objeto. Esto hace que la lente sea útil cuando necesito reducir el tamaño aparente de una imagen o extender un haz antes de que llegue a otra lente. Muchos sistemas ópticos combinan una lente bicóncava con una lente biconvexa para ajustar el tamaño del haz, la posición focal o la potencia óptica total. Un telescopio galileano proporciona un ejemplo familiar de esta combinación. Utiliza una lente objetivo convergente y una lente ocular divergente. Las dos lentes trabajan juntas para producir una visión vertical sin depender de la misma disposición utilizada en muchos otros diseños de telescopios. ### La forma de la lente no es el único factor. Es fácil suponer que cada lente curvada hacia afuera es una lente fuertemente convergente y que cada lente curvada hacia adentro tiene el mismo efecto divergente. El diseño óptico es menos simple. El índice de refracción del material de la lente afecta la cantidad de luz que se desvía. El vidrio y el plástico pueden tener un comportamiento óptico diferente incluso cuando las formas de sus superficies parecen similares. El radio de curvatura también importa. Una superficie muy curvada suele desviar la luz más que una superficie suavemente curvada. Un diseñador de lentes puede combinar dos curvaturas diferentes para controlar la distancia focal, el grosor y la calidad de la imagen. El medio circundante también cambia el resultado. Una lente diseñada para aire puede mostrar una distancia focal diferente cuando se coloca en agua porque la diferencia del índice de refracción se vuelve menor. La forma de una lente también puede afectar a las aberraciones. Las superficies esféricas pueden causar aberración esférica, donde los rayos cerca del borde se enfocan en una ubicación diferente a los rayos cerca del centro. La aberración cromática puede crear separación de colores porque diferentes longitudes de onda se curvan en diferentes cantidades. Una superficie asférica, un tipo de vidrio especial, un revestimiento o un grupo de varias lentes pueden ayudar a controlar estos efectos. ### Un proceso práctico de selección de lentes Cuando selecciono entre una lente biconvexa y bicóncava, utilizo un proceso claro. Definir la trayectoria de la luz Identifico si el sistema debe juntar los rayos, separarlos o ajustar un haz existente. Una tarea convergente apunta hacia una lente positiva. Una tarea divergente apunta hacia una lente negativa. Establezca la distancia focal Mido la distancia disponible entre la lente y el enfoque objetivo. Esto me ayuda a estimar la distancia focal y la potencia óptica requeridas. Verifique las posiciones del objeto y de la imagen Yo uso la ecuación de lente delgada: [ \frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i} ] Aquí, f es la distancia focal, dₒ es la distancia del objeto y dᵢ es la distancia de la imagen. Las convenciones de signos pueden variar, por lo que mantengo una convención durante todo el cálculo. Revisar tamaño de imagen La ampliación se puede estimar con: [ m = -\frac{d_i}{d_o} ] El signo negativo a menudo indica una imagen invertida según la convención estándar. El requisito de tamaño puede llevarme a elegir una distancia focal o disposición de lentes diferente. Verifique el material Considero índice de refracción, rango de transmisión, condiciones de temperatura, durabilidad de la superficie y peso. Una lente de plástico de bajo costo puede ser adecuada para un dispositivo educativo simple, mientras que un sistema de imágenes de precisión puede necesitar un material diferente. Revise la apertura de trabajo Una apertura más grande puede captar más luz, pero también puede aumentar las aberraciones si el diseño de la lente no las controla. Compruebo si se necesita la apertura completa o si un área de trabajo más pequeña proporciona una imagen más limpia. Pruebe el sistema terminado No juzgo una lente solo por su forma. Compruebo el enfoque, el tamaño de la imagen, la distorsión, la pérdida de luz y el rendimiento en todo el campo de visión previsto. ### Errores comunes de selección Un error común es elegir una lente sólo por su diámetro. El diámetro afecta la captación de luz y el tamaño del haz utilizable, pero no define la distancia focal. Otro error es suponer que una lente biconvexa siempre da una imagen más nítida que una lente bicóncava. La calidad de la imagen depende del sistema óptico completo, la precisión de la superficie, la alineación, el material y los recubrimientos. Algunos usuarios también seleccionan una lente con la distancia focal correcta pero la colocan a una distancia incorrecta del objeto o la pantalla. Un pequeño cambio de posición puede alterar la ampliación y el enfoque. Un ejemplo práctico aparece en un proyector de aula. Una lente positiva puede ser adecuada para formar una imagen en una pared, pero la lente debe colocarse con el panel de visualización y la superficie de proyección a distancias que coincidan con el tamaño de imagen deseado. La forma correcta de la lente no puede solucionar un espaciamiento deficiente. ### ¿Qué lente debo usar? Elijo una lente biconvexa cuando necesito: - Enfocar luz paralela - Producir una vista ampliada - Formar una imagen proyectada - Recolectar luz para un sensor óptico - Construir un sistema óptico convergente básico Elijo una lente bicóncava cuando necesito: - Extender un haz de luz - Reducir la convergencia óptica - Corregir la visión miope con una prescripción adecuada - Ajustar la potencia de un sistema de lentes más grande - Crear una imagen virtual vertical y reducida La mejor opción proviene de la trayectoria de luz, la distancia focal y la posición de la imagen requeridas. materiales y condiciones de trabajo. Las lentes biconvexas y bicóncavas son fáciles de reconocer, pero su rendimiento depende del sistema completo que las rodea. Comprender esa relación me ayuda a seleccionar una lente para un propósito claro en lugar de depender únicamente de la forma.

Cuando conocí las lentes por primera vez, descubrí que seguía surgiendo una pregunta: ¿por qué una lente biconvexa junta los rayos de luz mientras que una lente bicóncava los separa? La respuesta está en las superficies curvas de cada lente y en la forma en que la luz cambia de dirección a medida que se mueve entre los materiales. Una lente no crea luz. Cambia el camino de la luz. Cuando la luz pasa del aire al vidrio o al plástico, su velocidad cambia. Este cambio puede doblar el rayo, un proceso llamado refracción. La forma de la lente controla la dirección de esa curvatura. Una lente biconvexa tiene dos superficies curvadas hacia afuera. Su centro es más grueso que sus bordes. Una lente bicóncava tiene dos superficies curvadas hacia adentro. Su centro es más delgado que sus bordes. Me resulta más fácil entender su comportamiento siguiendo unos simples rayos. Una lente biconvexa lleva rayos de luz paralelos hacia un punto común en el lado opuesto de la lente. Este punto se llama punto focal. La distancia desde el centro de la lente hasta ese punto es la distancia focal. Puedes imaginarte la luz del sol pasando a través de una lupa. Los rayos que llegan del Sol son casi paralelos. Después de atravesar la lente, se mueven hacia un pequeño punto brillante. El punto se calienta porque la energía luminosa se concentra en un área más pequeña. El mismo principio ayuda a una cámara a formar una imagen. La luz reflejada por un árbol, una persona o un edificio ingresa a la cámara a través de una lente convexa. La lente dobla los rayos para que se encuentren en el sensor de imagen. La cámara ajusta la posición de la lente para que la imagen sea nítida. Una lente convexa puede formar diferentes imágenes según la distancia del objeto. Cuando un objeto se coloca lejos de la lente, la imagen puede ser más pequeña e invertida. Cuando el objeto se acerca, la imagen puede hacerse más grande. Una lupa utiliza este comportamiento. Sostengo la lente cerca de una página impresa y la página parece más grande porque la lente envía una imagen virtual ampliada a mis ojos. El ojo humano también utiliza una lente convexa. La córnea y el cristalino interno del ojo desvían la luz entrante hacia la retina. Los músculos pequeños cambian la forma de la lente para poder enfocar objetos a diferentes distancias. Un libro cercano y una señal de tráfico distante requieren condiciones de enfoque ligeramente diferentes. Una lente bicóncava produce el efecto contrario. Los rayos paralelos que lo atraviesan se alejan unos de otros. Los rayos parecen provenir de un punto situado delante de la lente, llamado punto focal virtual. Puedo demostrar esto con un diagrama de rayos simple. Dibuja una línea horizontal a través del centro de la lente. Envía un rayo paralelo a esa línea hacia una lente bicóncava. Después de la refracción, el rayo se curva hacia afuera. Extiende el rayo saliente hacia atrás con una línea de puntos. La línea de puntos apunta hacia el punto focal virtual. Una lente bicóncava no lleva la luz a un punto físico situado en el lado opuesto. Hace que los rayos parezcan venir de un punto en el lado entrante. Esta acción de difusión tiene un papel útil en la corrección de la visión. La miopía, a menudo llamada miopía, hace que los objetos distantes parezcan borrosos porque el ojo enfoca la luz delante de la retina. Una lente cóncava dispersa los rayos entrantes antes de que entren al ojo. El ojo puede entonces enfocar la luz más atrás, más cerca de la retina. El cristalino no repara el ojo. Cambia la luz entrante para que el ojo pueda crear una imagen más clara. La diferencia entre los dos tipos de lentes se vuelve más fácil de recordar con una regla visual: - Una lente biconvexa es más gruesa en el medio y tiende a hacer converger la luz. - Una lente bicóncava es más delgada en el medio y tiende a divergir la luz. “Converger” significa acercarse unos a otros. “Divergir” significa separarse. La cantidad de flexión depende de algo más que el nombre de la lente. El material importa porque el vidrio y el plástico pueden tener diferentes índices de refracción. La curvatura también importa. Una lente con curvas más pronunciadas suele desviar la luz más que una lente más plana hecha del mismo material. El grosor también puede afectar el resultado. En los diagramas básicos, trato una lente como delgada y me enfoco en su forma principal. En óptica de precisión, los diseñadores también consideran el espesor de la lente, la calidad de la superficie, el material y la posición de la lente dentro de un sistema óptico. La distancia focal ofrece otra forma útil de comparar lentes. Una distancia focal corta suele significar una curvatura más fuerte y una distancia más corta al punto focal. Una distancia focal larga significa una curvatura más débil y una distancia más larga hasta ese punto. Para una lente convergente, la distancia focal se trata como positiva en la convención de signos común. Para una lente divergente, se trata como negativa. Esta señal no significa que la lente sea mala o insegura. Muestra las diferentes direcciones del comportamiento de la luz en un cálculo óptico. Una fórmula de lente simple es: 1/f = 1/u + 1/v Aquí, f representa la distancia focal, u representa la distancia del objeto y v representa la distancia de la imagen. Los signos exactos dependen de la convención de signos que se utilice, por lo que siempre reviso esa convención antes de resolver un problema. Una forma práctica de estudiar una lente es seguir estos pasos: 1. Observa la forma. Un centro más grueso suele indicar una lente convexa. Un centro más delgado suele indicar una lente cóncava. 2. Dibuja un rayo paralelo al eje principal. Una lente convexa lo curva hacia el punto focal. Una lente cóncava lo dobla hacia afuera. 3. Dibuja un rayo a través del centro óptico. En un modelo de lente delgada, este rayo viaja casi en línea recta. 4. Encuentra de dónde se encuentran los rayos o de dónde parecen venir. Esa ubicación ayuda a identificar el tipo y la posición de la imagen. 5. Comprueba la imagen. Decide si es real o virtual, vertical o invertida, ampliada o reducida. Este método funciona bien para diagramas de aula y preguntas básicas sobre lentes. También me ayuda a comprender los dispositivos que uso todos los días, desde gafas para leer hasta cámaras, proyectores, binoculares y microscopios. Una lente convexa no siempre es una lente de aumento. Su resultado depende de la posición del objeto. Una lente cóncava tampoco es simplemente una lente que hace que los objetos sean más pequeños en cada situación. El tamaño aparente de la imagen depende de la potencia de la lente, la distancia del objeto y la posición de visualización. La idea clave es simple: la forma de la lente controla la refracción. Las curvas hacia afuera de una lente biconvexa guían la luz hacia adentro, mientras que las curvas hacia adentro de una lente bicóncava guían la luz hacia afuera. Una vez que conecto la forma con la dirección del rayo, los puntos focales y la formación de imágenes se vuelven mucho más fáciles de entender.

Cuando supe por primera vez sobre las lentes, encontré que era fácil confundir los nombres. Una lente biconvexa tiene dos superficies curvadas hacia afuera, mientras que una lente bicóncava tiene dos superficies curvadas hacia adentro. Sus formas afectan la forma en que viaja la luz, por lo que elegir el término incorrecto puede conducir a un diagrama, fórmula o explicación incorrectos. Una forma sencilla de recordar la diferencia es esta: - Lente biconvexa: más gruesa en el centro y más delgada en los bordes - Lente bicóncava: más delgada en el centro y más gruesa en los bordes La palabra “bi” significa que ambos lados de la lente tienen una curva similar. Cómo una lente biconvexa desvía la luz Una lente biconvexa desvía los rayos de luz paralelos entre sí. Los rayos pueden encontrarse en un punto llamado foco principal o punto focal. Debido a que reúne los rayos de luz, una lente biconvexa también se llama lente convergente. Un diagrama de rayos básico utiliza tres rayos comunes: 1. Un rayo paralelo al eje principal viaja a través del punto focal después de pasar a través de la lente. 2. Un rayo que pasa por el centro óptico suele continuar casi en la misma dirección. 3. Un rayo dirigido al punto focal del lado del objeto sale de la lente paralela al eje principal. La distancia focal es la distancia desde el centro óptico de la lente hasta el punto focal. Una distancia focal más corta significa que la lente desvía la luz con más fuerza que una lente con una distancia focal más larga, suponiendo condiciones similares. Puedo ver este efecto con una simple lupa. Cuando sostengo un objeto pequeño a la distancia correcta de una lente biconvexa, la lente puede producir una imagen virtual ampliada y vertical. Cuando el objeto se aleja, la imagen puede cambiar de tamaño y dirección. El resultado depende de la distancia del objeto al punto focal. Cómo una lente bicóncava desvía la luz Una lente bicóncava desvía los rayos de luz paralelos entre sí. Los rayos no se encuentran después de atravesar la lente. Si extiendo los rayos hacia atrás con líneas de puntos, parecen provenir de un punto en el lado del objeto de la lente. Este punto es el punto focal virtual. Una lente bicóncava también se llama lente divergente. Sus reglas de rayos comunes son: 1. Un rayo paralelo al eje principal sale de la lente como si viniera del punto focal del lado del objeto. 2. Un rayo dirigido hacia el punto focal del lado lejano sale de la lente paralela al eje principal. 3. Un rayo que pasa por el centro óptico continúa casi en la misma dirección. Un ejemplo familiar es el de un par de gafas que se utilizan para corregir la miopía, también llamada miopía. Una lente bicóncava difunde la luz entrante antes de que el ojo la enfoque. El ojo puede entonces formar la imagen más cerca de la posición correcta en la retina. La forma y la resistencia exactas de la lente deben seleccionarse mediante un examen ocular. Una prueba rápida de forma Cuando necesito identificar una lente en un diagrama, utilizo la prueba de espesor central. - Si el centro es más grueso que el borde, la lente suele ser biconvexa. - Si el centro es más delgado que el borde, la lente suele ser bicóncava. Esta prueba funciona bien para diagramas básicos. No es suficiente para todos los sistemas de lentes porque algunas lentes combinan superficies convexas y cóncavas. Una lente con un lado convexo y otro cóncavo se llama lente de menisco, no lente biconvexa o bicóncava. Formación de imágenes con una lente biconvexa La imagen formada por una lente biconvexa cambia a medida que el objeto se mueve. - Cuando el objeto está más allá del doble de la distancia focal, la imagen es real, invertida y más pequeña. - Cuando el objeto está al doble de la distancia focal, la imagen es real, invertida y aproximadamente del mismo tamaño. - Cuando el objeto se encuentra entre el punto focal y el doble de la distancia focal, la imagen es real, invertida y ampliada. - Cuando el objeto está dentro de la distancia focal, la imagen es virtual, vertical y ampliada. Un proyector en el aula muestra un uso de este comportamiento. La diapositiva se coloca más allá del punto focal y la lente forma una imagen real más grande en una pantalla. Formación de imágenes con una lente bicóncava Para un objeto normal colocado frente a una lente bicóncava, la imagen suele ser: - Virtual - Vertical - Más pequeña que el objeto - Ubicada entre la lente y su punto focal virtual Esto hace que la lente bicóncava sea útil cuando se necesita una imagen vertical más pequeña. La imagen no se puede proyectar en una pantalla porque los rayos de luz no se encuentran en el lugar de la imagen. La fórmula de la lente delgada Para muchos problemas básicos de lentes, uso la fórmula de la lente delgada: [ \frac{1}{f}=\frac{1}{v}+\frac{1}{u} ] Aquí: - (f) es la distancia focal - (u) es la distancia del objeto - (v) es la distancia de la imagen El signo de cada valor depende de la convención de signos utilizada en la pregunta. Siempre reviso esa convención antes de sustituir números. Diferentes libros de texto pueden usar reglas diferentes, por lo que copiar una fórmula sin verificar los signos puede producir un resultado incorrecto. La ampliación se puede escribir como: [ m=\frac{h_i}{h_o}=\frac{v}{u} ] Aquí: - (h_i) es la altura de la imagen - (h_o) es la altura del objeto - (m) es la ampliación Una ampliación negativa a menudo indica una imagen invertida según la convención de signos cartesianos habitual. El significado depende de la convención utilizada en la lección. Una comparación simple | Característica | Lente biconvexa | Lente bicóncava | |---|---|---| | Forma | Curvas hacia afuera en ambos lados | Curvas hacia adentro en ambos lados | | Centro | Más grueso | Más delgado | | Efecto sobre rayos paralelos | Los une | Los separa | | Otro nombre | Lente convergente | Lente divergente | | Imagen habitual de un objeto cercano | Puede ser real o virtual | Generalmente virtual | | Ejemplo común | Lupa, lente de proyector | Gafas de miopía | Un método práctico para resolver preguntas sobre lentes Sigo una breve rutina: 1. Observa la forma de la lente. 2. Decide si es convergente o divergente. 3. Marque el centro óptico, el eje principal y los puntos focales. 4. Dibuja al menos dos rayos principales. 5. Compruebe si los rayos se encuentran o sólo parecen encontrarse. 6. Describe la imagen por tamaño, dirección, tipo y posición. 7. Aplique la fórmula de la lente si la pregunta incluye medidas. El diagrama de rayos debería respaldar el cálculo. Si el diagrama sugiere una imagen real invertida pero el cálculo da una imagen virtual vertical, vuelvo a comprobar los signos y la distancia al objeto. El punto principal es fácil de retener: una lente biconvexa es más gruesa en el medio y hace converger la luz; una lente bicóncava es más delgada en el medio y diverge la luz. Una vez que conecto la forma con el camino de la luz, los nombres, diagramas y reglas de las imágenes se vuelven mucho más fáciles de usar. Si tiene alguna consulta sobre el contenido de este artículo, comuníquese con lingying: mr.li@lingyingchuang.com/WhatsApp +8613776518568.

Referencias 1. Eugene Hecht, 2017, Óptica 2. Frank L Pedrotti, Leno M Pedrotti y Leno S Pedrotti, 2007, Introducción a la óptica 3. Max Born y Emil Wolf, 1999, Principios de la óptica 4. Warren J Smith, 2008, Ingeniería óptica moderna 5. Francis A Jenkins y Harvey E White, 1981, Fundamentos de la óptica 6. Raymond A Serway y John W Jewett, 2018, Física para científicos e ingenieros.